问题
记\(~\boldsymbol{F}~\)为\(~N~\)阶方阵，其第\(~i~\)行、第\(~j~\)列的分量记为\(~F_{ij}\)，其行列式记为\(~|\boldsymbol{F}|~\)，将分量\(~F_{ij}~\)对应的代数余子式记为\(~\mathcal{F}_{ij}\)，将\(~\boldsymbol{F}~\)的伴随矩阵记为\(~\boldsymbol{F}^*\)。
在线性代数教材中，一般用\(~\boldsymbol{A}~\)表示方阵，\(a_{ij}~\)表示分量，\(A_{ij}~\)表示\(~a_{ij}~\)对应的代数余子式
本文采用张量的表示形式，故与线性代数教材中符号不一致
那么，\(\mathrm{d}|\boldsymbol{F}| \big/ \mathrm{d}t=~?\)
解答
行列式\(~|\boldsymbol{F}|~\)等于它的第\(~i~\)行（第\(~j~\)列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
\[ \tag{1a} |\boldsymbol{F}|=\sum\limits^{N}_{j=1} F_{ij} \mathcal{F}_{ij} \] 或者 \[ \tag{1b} |\boldsymbol{F}|=\sum\limits^{N}_{i=1} F_{ij} \mathcal{F}_{ij} \]
当行列式\(~|\boldsymbol{F}|~\)中第\(~i~\)行、第\(~j~\)列的值\(~F_{ij}~\)变为\(~F_{ij}+\varepsilon\)，且其余位置的值保持不变，得到一个新的行列式，记为\(~|\boldsymbol{F}(F_{ij}+\varepsilon)|\)，将其按第\(~i~\)行展开，于是由式\((1\mathrm{a})\)可得 \[ \tag{2} |\boldsymbol{F}(F_{ij}+\varepsilon)|=\varepsilon\mathcal{F}_{ij}+\sum\limits^{N}_{j=1} F_{ij} \mathcal{F}_{ij} \]
进一步得到 \[ \tag{3} |\boldsymbol{F}(F_{ij}+\varepsilon)|-|\boldsymbol{F}|=\varepsilon\mathcal{F}_{ij} \]
故有 \[ \tag{4} \frac{\partial|\boldsymbol{F}|}{\partial F_{ij}}=\mathcal{F}_{ij} \]
根据代数余子式与伴随矩阵的定义，有 \[ \tag{5} \mathcal{F}_{ij}=(\boldsymbol{F}^*)_{ji}=|\boldsymbol{F}|(\boldsymbol{F}^{-1})_{ji} \]
将式\((5)\)代入式\((4)\)，可得 \[ \tag{6} \frac{\partial|\boldsymbol{F}|}{\partial F_{ij}}=|\boldsymbol{F}|(\boldsymbol{F}^{-1})_{ji} \]
接下来推导\(~\mathrm{d}|\boldsymbol{F}| \big/ \mathrm{d}t~\)： \[ \tag{7} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}|\boldsymbol{F}|}{\mathrm{d}t} & = \frac{\partial|\boldsymbol{F}|}{\partial F_{ij}} \frac{\partial F_{ij}}{\partial t} \stackrel{\text{式}(6)}{=} |\boldsymbol{F}| (\boldsymbol{F}^{-1})_{ji} \frac{\partial F_{ij}}{\partial t} \\ & = |\boldsymbol{F}|~\mathrm{tr}(\boldsymbol{F}^{-1} \cdot \dot{\boldsymbol{F}}) = |\boldsymbol{F}|~\mathrm{tr}(\dot{\boldsymbol{F}} \cdot \boldsymbol{F}^{-1}) \end{aligned} \]
需要注意，上式中\(~i\)、\(j~\)为哑指标，即采用Einstein求和约定
式中，\(\mathrm{tr}~\)是矩阵取迹的运算符。至此，推导完成。
力学延伸
在连续介质力学中，常用\(~\boldsymbol{F}~\)表示变形梯度张量，\(\boldsymbol{L}~\)表示速度梯度张量，两者定义分别为 \[ \tag{8} \boldsymbol{F}=\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{x} \otimes \nabla_{\boldsymbol{X}} \qquad F_{ij}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j} \] \[ \tag{9} \boldsymbol{L}=\dot{\boldsymbol{F}} \cdot \boldsymbol{F}^{-1}=\frac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{v} \otimes \nabla_{\boldsymbol{x}} \qquad L_{ij}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j} \]
式中，\(\nabla~\)为Hamiltonian算符。变形梯度张量\(~\boldsymbol{F}~\)的行列式用于衡量变形前后的体积改变，一般记为 \[ \tag{10} J=|\boldsymbol{F}| \]
于是，由式\((7)\)、\((9)\)、\((10)\)可得 \[ \tag{11} \dot{J}=J~\mathrm{tr}(\boldsymbol{L})=J~\nabla_{\boldsymbol{x}} \cdot \boldsymbol{v} \]
式\((11)\)表明，微体单位体积的体积对时间变化率等于其速度梯度的散度。连续体在变形过程中需满足质量守恒定律，即 \[ \tag{12} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\rho J)=\dot{\rho}~J+\rho~\dot{J}=0 \]
将式\((11)\)代入式\((12)\)，可得 \[ \tag{13} \dot{\rho}+\rho~\nabla_{\boldsymbol{x}} \cdot \boldsymbol{v} =0 \]
式中，\(\rho~\)为密度。式\((13)\)则是流体力学中常用的连续性方程。