定义
对于某些数学物理问题，可抽象为一个二阶线性偏微分方程。\(n\) 个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式如下 \[ \tag{1a} \sum_{i,j} A_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_i B_i \frac{\partial u}{\partial x_i} + Fu = G \]
采用张量记法可写作 \[ \tag{1b} A_{ij} u_{x_i x_j} + B_i u_{x_i} + Fu = G \]
一般认为函数 \(u\) 具有关于 \(n\) 个自变量的二阶连续导数，即有 \(u_{x_i x_j}=u_{x_j x_i}\) 。假设 \(A_{ij}=A_{ji}\) ，且 \(A_{ij}\) 、\(B_i\) 、\(F\) 和 \(G\) 都是关于 \(n\) 个自变量的函数。若 \(G\) 恒为零，则该方程称为齐次方程；否则称为非齐次方程。
典型方程
符号 \(\nabla\) 被称为哈密顿算子，其定义为 \[ \tag{2a} \nabla = \frac{\partial}{\partial x_i} \boldsymbol{e}_i \]
符号 \(\Delta\) 或 \(\nabla^2\) 被称为拉普拉斯算子，其定义为 \[ \tag{2b} \Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_i} \]
三类基本的二阶偏微分方程为波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程 。
波动方程
\[ \tag{3} u_{tt}-c^2~\nabla^2 u = 0 \]
波动方程在三个维度分别对应三种物理模型：
- 一维：弦的振动，即 \(u_{tt}=c^2 u_{xx}\)
- 二维：膜的振动，即 \(u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy})\)
- 三维：弹性介质中的波，即 \(u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\)
下面详细介绍弹性介质中的波。弹性力学基本方程有三类：
- 平衡方程：分量形式 \(\sigma_{ji,j}+f_i=0\)，实体形式 \(\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}\)
- 几何方程：分量形式 \(\varepsilon_{ij}=\displaystyle\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})\)，实体形式 \(\boldsymbol{\varepsilon}=\displaystyle\frac{1}{2}(\boldsymbol{u} \otimes \nabla + \nabla \otimes \boldsymbol{u})\)
- 本构方程：分量形式 \(\sigma_{ij}=2\mu \varepsilon_{ij}+\lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}\)，实体形式 \(\boldsymbol{\sigma}=2\mu\boldsymbol{\varepsilon}+\lambda \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) \boldsymbol{I}\) （各向同性材料）
本构方程：分量形式 \(\varepsilon_{ij}=\displaystyle\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\frac{\nu}{E}\sigma_{kk}\delta_{ij}\)，实体形式 \(\boldsymbol{\varepsilon}=\displaystyle\frac{1+\nu}{E}\boldsymbol{\sigma}-\frac{\nu}{E}\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})\boldsymbol{I}\)
变形协调方程：分量形式 \(\varepsilon_{ij,kl}+\varepsilon_{kl,ij}-\varepsilon_{ik,jl}-\varepsilon_{jl,ik}=0\)，实体形式 \(\nabla\times\boldsymbol{\varepsilon}\times\nabla=\boldsymbol{0}\)
其中，\(\boldsymbol{f}\) 为体力，\(\boldsymbol{u}\) 为位移矢量，\(\mu\) 、\(\lambda\) 为 \(\mathrm{Lam} \acute {\mathrm{e}}\) 常数，\(\boldsymbol{I}\) 为单位二阶张量。
对于弹性动力学问题，引入惯性力，并忽略体力，则由平衡方程导出运动微分方程： \[ \tag{4} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}=\rho\ddot{\boldsymbol{u}}=\rho\boldsymbol{u}_{tt} \]
将几何方程代入本构方程中可得 \[ \tag{5} \boldsymbol{\sigma}=\mu(\boldsymbol{u} \otimes \nabla + \nabla \otimes \boldsymbol{u})+\lambda~\underbrace{(\nabla \cdot \boldsymbol{u})}_{\text{标量}}~\boldsymbol{I} \]
对式\((5)\)求偏导可得 \[ \tag{6} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}=\mu\big[\nabla \cdot(\boldsymbol{u} \otimes \nabla) + \nabla \cdot(\nabla \otimes \boldsymbol{u})\big]+\lambda (\nabla \cdot\boldsymbol{I})(\nabla \cdot \boldsymbol{u}) \]
注意到 \[ \tag{7a} \nabla \cdot(\boldsymbol{u} \otimes \nabla)= \frac{\partial}{\partial x_i}\big(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\big)\boldsymbol{e}_j=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_i}\boldsymbol{e}_j=\frac{\partial^2u_i}{\partial x_i \partial x_j}\boldsymbol{e}_j=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u}) \] \[ \tag{7b} \nabla \cdot(\nabla \otimes \boldsymbol{u})=\frac{\partial}{\partial x_i}\big(\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\big)\boldsymbol{e}_j=\frac{\partial^2 u_j}{\partial x_i \partial x_i}\boldsymbol{e}_j=\nabla^2\boldsymbol{u} \] \[ \tag{7c} \nabla \cdot\boldsymbol{I}=\frac{\partial}{\partial x_i}\delta_{ij}\boldsymbol{e}_j=\frac{\partial}{\partial x_j}\boldsymbol{e}_j=\nabla \]
于是将式\((7)\)代入式\((6)\)可得 \[ \tag{8} \begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}&=\mu\big[\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})+\nabla^2\boldsymbol{u}\big]+\lambda\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u}) \\[3pt] &=(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})+\mu\nabla^2\boldsymbol{u} \end{aligned} \]
将式\((8)\)代入式\((4)\)可得 \[ \tag{9} (\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})+\mu\nabla^2\boldsymbol{u}=\rho\boldsymbol{u}_{tt} \]
该方程被称为Navier方程。
若 \(\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0\) ，即位移散度为零，则有 \[ \tag{10a} \boldsymbol{u}_{tt}=c_1^2~\nabla^2\boldsymbol{u} \]
其中波速 \(c_1=\sqrt{\mu/\rho}\) 。这种波被称为等体积波或畸变波。
若 \(\nabla\times\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}\) ，即位移旋度为零，由恒等式 \[ \nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{u})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})-\nabla^2\boldsymbol{u} \]
证明：
\[ (\nabla\times\boldsymbol{u})_k=u_{j,i}\epsilon_{ijk} \]
\[ \big[\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{u})\big]_k=u_{b,ai}\epsilon_{abj}\epsilon_{ijk} \]
考虑到 \[ \epsilon_{abj}\epsilon_{ijk}=\delta_{ib}\delta_{ka}-\delta_{ia}\delta_{kb} \] 此为 \(\boldsymbol{\epsilon}-\boldsymbol{\delta}\) 恒等式。于是有 \[ \begin{aligned}\big[\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{u})\big]_k &=u_{b,ai}(\delta_{ib}\delta_{ka}-\delta_{ia}\delta_{kb})\\[3pt] &=u_{b,ai}\delta_{ib}\delta_{ka}-u_{b,ai}\delta_{ia}\delta_{kb}\\[3pt] &=u_{b,bk}-u_{k,aa}\\[3pt] &=\big[\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})-\nabla^2\boldsymbol{u}\big]_k \end{aligned} \] 证毕。
可得 \[ \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})=\nabla^2\boldsymbol{u} \]
于是可得 \[ \tag{10b} \boldsymbol{u}_{tt}=c_2^2~\nabla^2\boldsymbol{u} \]
其中波速 \(c_2=\sqrt{(\lambda+2\mu)/\rho}\) 。这种波被称为无旋波。
一般来说，波动方程以式\((3)\)的形式给出。
热传导方程
\[ \tag{11} u_{t}-k~\nabla^2 u = 0 \]
温度场 \(u(x,y,z,t)\) 不均匀时，热量由高温流向低温处。由傅里叶定律，热流的变化率与温度梯度成正比。因此在各向同性的固体中，热流速度为 \[ \boldsymbol{v}=-K \nabla \otimes u \]
考虑热的扩散过程，并由高斯定理可得热传导方程，即式\((11)\)。
拉普拉斯方程
\[ \tag{12} \nabla^2 u = 0 \]
万有引力势：位于 \((x_0,y_0,z_0)\) 处质量为 \(M\) 的质点对位于 \((x,y,z)\) 处单位质量的质点的应力，其大小为 \(M/r^2\)，其中 \(r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\) 。写为向量形式，即为 \[ \boldsymbol{F}(x,y,z)=-\frac{M}{r^2}\Big(\frac{x-x_0}{r},\frac{y-y_0}{r},\frac{z-z_0}{r}\Big) \]
应力函数 \(\boldsymbol{F}(x,y,z)\) 的位势函数为 \[ \varphi(x,y,z)=\frac{M}{r} \]
且有 \(\boldsymbol{F}=\nabla \varphi\) 。不难证明 \(\nabla^2 \varphi = \nabla \cdot \boldsymbol{F}=0\) 。
当因变量与时间无关时，拉普拉斯方程是波动方程和热传导方程的特殊形式。
分类
两个自变量 \(x\) ，\(y\) 的未知函数 \(u\) 的二阶线性偏微分方程： \[ \tag{13} A u_{xx} + B u_{xy} +C u_{yy} + D u_x + E u_y + Fu = G \]
就两个自变量的情况，在给定的区域内把已知方程化为标准形式的变换总是存在的。但是对于对个自变量而言，这样的变换一般是不可能找到的。
考虑自变量的变换 \[ \tag{14} \begin{cases} \xi =\xi (x,y)\\[3pt] \eta =\eta (x,y) \end{cases} \]
假设 \(\xi\) 和 \(\eta\) 都是二次连续可微，且函数行列式 \[ \tag{15} J=\begin{vmatrix} \xi_x & \xi_y\\ \eta_x & \eta_y \end{vmatrix} \neq 0 \]
那么 \(x\) 和 \(y\) 可由变换\((14)\)所唯一确定。将式\((13)\)经变换后得到 \[ \tag{16a} A^* u_{\xi\xi} + B^* u_{\xi\eta} +C^* u_{\eta\eta} + D^* u_\xi + E^* u_\eta + F^* u = G^* \]
也即 \[ \tag{16b} A^* u_{\xi\xi} + B^* u_{\xi\eta} +C^* u_{\eta\eta} = H^*(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta) \]
其中，\(A^*=A\xi^2_x+B\xi_x\xi_y+C\xi^2_y\) 、\(C^*=A\eta^2_x+B\eta_x\eta_y+C\eta^2_y\) 。
将式\((16\mathrm{b})\)转化为标准形式，即令 \(A^*=C^*=0\) 。经过一系列的操作得到特征方程： \[ \tag{17a} Ay^2_x-By_x+C=0 \]
特征方程的根： \[ \tag{17b} y_x=\frac{B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A} \]
二阶线性偏微分方程的分类是由解析几何中的二次方程的分类得到启发的，二次方程
\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)
是双曲线、抛物线或椭圆是按 \(B^2-4AC\) 为正、为零或为负而定的
双曲型
若 \(B^2-4AC>0\) ，式\((16)\)化为 \[ \tag{18a} u_{\xi\eta}=H_1=H^*/B^* \]
此为双曲型方程的第一标准形式。
再引入新的自变量 \[ \begin{cases} \alpha=\xi + \eta \\[3pt] \beta=\xi - \eta \end{cases} \]
将式\((18\mathrm{a})\)化为 \[ \tag{18b} u_{\alpha\alpha}-u_{\beta\beta}=H_2(\alpha,\beta,u,u_\alpha,u_\beta) \]
此为双曲型方程的第二标准形式。
抛物型
若 \(B^2-4AC=0\) ，式\((16)\)化为 \[ \tag{19a} u_{\eta\eta}=H_3(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta) \]
或 \[ \tag{19b} u_{\xi\xi}=H^*_3(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta) \]
椭圆型
若 \(B^2-4AC<0\) ，首先引入新的自变量 \[ \begin{cases} \alpha=(\xi + \eta)/2 \\[3pt] \beta=(\xi - \eta)/2i \end{cases} \]
即有 \[ \begin{cases} \xi=\alpha+i\beta \\[3pt] \eta=\alpha-i\beta \end{cases} \]
于是，式\((16)\)化为 \[ \tag{20} u_{\alpha\alpha}+u_{\beta\beta}=H_4(\alpha,\beta,u,u_\alpha,u_\beta) \]
不难发现：
- 一维波动方程是双曲型，即 \(u_{tt}-c^2u_{xx}=0\) ，具有对时间可逆的性质；
- 一维热传导方程是抛物型，即 \(ku_{xx}=u_t\) ，反映了热的传导、物质的扩散等不可逆现象；
- 二维拉普拉斯方程是椭圆型，即 \(u_{xx}+u_{yy}=0\) ，描述平衡或定常的状态。
补充：N-S方程
Navier-Stokes方程： \[ \underbrace{\rho\Big(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot(\nabla\otimes\boldsymbol{u})\Big)}_{\text{惯性力}}=\underbrace{-\nabla p}_{\text{压力}}+\underbrace{\mu\nabla^2\boldsymbol{u}+\frac{1}{3}\mu\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{u})}_{\text{粘性力}}+\underbrace{\rho\boldsymbol{f}}_{\text{体力}} \]
其中，\(\boldsymbol{u}\) 是流体速度，\(p\) 是流体压强，\(\rho\) 是流体密度，\(\mu\) 是流动粘性系数。
N-S方程通常与连续性方程同时求解：
在《行列式的导数》中曾讨论过连续性方程 \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\boldsymbol{u}) = 0 \]
- N-S方程表示动量守恒
- 连续性方程表示质量守恒
补充：\(\boldsymbol{\epsilon}-\boldsymbol{\delta}\) 恒等式
三阶行列式的值： \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} & = \epsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3}=\epsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k} \\[5pt] \begin{vmatrix} a_{1r}&a_{1s}&a_{1t}\\ a_{2r}&a_{2s}&a_{2t}\\ a_{3r}&a_{3s}&a_{3t} \end{vmatrix} & = \epsilon_{rst}\epsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3} \\[5pt] \begin{vmatrix} a_{or}&a_{os}&a_{ot}\\ a_{pr}&a_{ps}&a_{pt}\\ a_{qr}&a_{qs}&a_{qt} \end{vmatrix} & = \epsilon_{opq}\epsilon_{rst}\epsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3} \\[5pt] \begin{vmatrix} \delta_{or}&\delta_{os}&\delta_{ot}\\ \delta_{pr}&\delta_{ps}&\delta_{pt}\\ \delta_{qr}&\delta_{qs}&\delta_{qt} \end{vmatrix} & = \epsilon_{opq}\epsilon_{rst}\epsilon_{ijk}\delta_{i1}\delta_{j2}\delta_{k3}=\epsilon_{opq}\epsilon_{rst}\epsilon_{123}=\epsilon_{opq}\epsilon_{rst} \\[5pt] \end{aligned} \]
\(\boldsymbol{\epsilon}-\boldsymbol{\delta}\) 恒等式： \[ \begin{aligned} \epsilon_{ijk}\epsilon_{rst} & = \begin{vmatrix} \delta_{ir}&\delta_{is}&\delta_{it}\\ \delta_{jr}&\delta_{js}&\delta_{jt}\\ \delta_{kr}&\delta_{ks}&\delta_{kt} \end{vmatrix}\\[5pt] \epsilon_{ijk}\epsilon_{ist} & = \delta_{js}\delta_{kt}-\delta_{ks}\delta_{jt}\\[5pt] \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijt} & = 2\delta_{kt}\\[5pt] \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} & = 6 \end{aligned} \]