应力应变描述
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应力描述
在ABAQUS中采用Cauchy应力作为应力描述方式，Cauchy应力也被称为真实应力，其表示当前构型中单位面积上的力。
应变描述
对于几何非线性（有限变形）分析，存在多种的应变描述方式。不同于真实应力，并没有哪种应变描述可以被明确地称为真实应变。
对于小变形，只有一种应变描述方式
在大应变分析中，对于相同的物理变形过程，选择不同的应变描述方式会得到不同的应变数值。实际上，应变描述方式的选择取决于分析类型、材料行为以及（某种程度上的）用户偏好。
Abaqus/Standard和Abaqus/Explicit的应变描述存在差异：
- Abaqus/Standard：默认情况（小变形）下，应变输出是总应变（变量符号
E）；对于大应变（有限变形）下的壳单元、薄膜单元以及实体单元，可以选择两种应变描述方式：对数应变（变量符号LE）、名义应变（变量符号NE）。 - Abaqus/Explicit：对数应变（变量符号
LE）是默认应变输出量，也可以选择输出名义应变（变量符号NE），总应变（变量符号E）是不可用的。
总应变
总应变，即Total strain，变量符号
E
在参考构型中，对应变率进行数值积分得到的总应变 \[ \boldsymbol{\varepsilon}^{n+1}=\Delta\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{\varepsilon}^n\cdot\Delta\boldsymbol{R}^\mathrm{T}+\Delta\boldsymbol{\varepsilon} \] 如果单元采用了共旋坐标系，则上式可简化为 \[ \boldsymbol{\varepsilon}^{n+1}=\boldsymbol{\varepsilon}^n+\Delta\boldsymbol{\varepsilon} \] 应变增量 \(\Delta\boldsymbol{\varepsilon}\) 可通过对变形率 \(\boldsymbol{D}\) 在时间增量 \(\Delta t\) 上积分得到 \[ \Delta\boldsymbol{\varepsilon}=\int^{t^{n+1}}_{t^n} \boldsymbol{D}~\mathrm{d}t \] 这种应变测量适用于弹性-(粘)塑性或弹性蠕变材料，因为塑性应变和蠕变应变是通过相同的积分过程获得的。 在这类材料中，弹性应变很小，总应变近似等于塑性应变或蠕变应变。
格林应变
格林应变，即Green's strain，变量符号
E
在Abaqus/Standard中，对于小应变的壳单元和梁单元，默认应变描述是格林应变（变量符号仍为E） \[
\boldsymbol{\varepsilon}^G=\frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^\mathrm{T}\cdot\boldsymbol{F}-\boldsymbol{I})
\] 式中，\(\boldsymbol{F}\) 为变形梯度，\(\boldsymbol{I}\) 为单位张量。格林应变适用于小应变大旋转的情况。在有限变形分析中，小应变壳和梁不应使用弹塑性或超弹性本构关系，因为可能会得到不正确的分析结果或发生程序故障。
名义应变
名义应变，即Nominal strain，变量符号
NE
\[ \boldsymbol{\varepsilon}^N=\boldsymbol{V}-\boldsymbol{I}=\sum^3_{i=1}(\lambda_i-1)\boldsymbol{n}_i\boldsymbol{n}_i^\mathrm{T} \]
式中，\(\boldsymbol{V}=\sqrt{\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^\mathrm{T}}\) 为左拉伸张量，\(\lambda_i\) 与 \(\boldsymbol{n}_i\) 分别为其特征值与特征(列)向量。
对数应变
对数应变，即Logarithmic strain，变量符号
LE
\[ \boldsymbol{\varepsilon}^L=\ln\boldsymbol{V}=\sum^3_{i=1}\ln\lambda_i\boldsymbol{n}_i\boldsymbol{n}_i^\mathrm{T} \]
超弹性材料的应变输出为对数应变。对于超粘弹性材料，对数弹性应变EE是由当前松弛应力状态计算得到，粘弹性应变CE则等于LE-EE。
UMAT中的输入量
应变量
在有限变形问题中，应变分量在UMAT调用之前被旋转，并且近似于对数应变，即 \(\boldsymbol{\varepsilon}^L\) 。
变形梯度
传递到UMAT中的并非变形梯度 \(\boldsymbol{F}\) ，而是修正变形梯度 \(\overline{\boldsymbol{F}}\) \[ \overline{\boldsymbol{F}}=\boldsymbol{F}\bigg(\frac{\overline{J}}{J}\bigg)^{\frac{1}{n}} \] 式中，\(J=\det(\boldsymbol{F})\) 是高斯点上的雅克比行列式，对于三维单元，\(n=3\) ；对于二维单元，\(n=2\) 。
\(\overline{J}\) 则是整个单元上的平均雅克比行列式 \[ \overline{J}=\frac{1}{V_{el}}\int J~\mathrm{d}V_{el} \]
根据单元积分点位置，计算离散加权平均得到 \(\overline{J}\)
旋转增量矩阵
对于可逆的变形梯度 \(\boldsymbol{F}\) ，由矩阵的极分解定理可得 \[ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{U}=\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{R} \]
式中，\(\boldsymbol{U}=\sqrt{\boldsymbol{F}^\mathrm{T}\cdot\boldsymbol{F}}\) 、\(\boldsymbol{V}=\sqrt{\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^\mathrm{T}}\) 。于是可得对应的正交旋转矩阵 \(\boldsymbol{R}\) \[ \boldsymbol{R}=\boldsymbol{F}\cdot\big(\sqrt{\boldsymbol{F}^\mathrm{T}\cdot\boldsymbol{F}}\big)^{-1}=\big(\sqrt{\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^\mathrm{T}}\big)^{-1}\cdot\boldsymbol{F} \] UMAT中的输入量中有两个变形梯度，即 \(\boldsymbol{F}_0\) 与 \(\boldsymbol{F}_1\) ，分别对应该增量步变形前后的变形梯度。于是可得两个旋转矩阵，即 \(\boldsymbol{R}_0\) 与 \(\boldsymbol{R}_1\) ，进一步可定义旋转增量矩阵 \(\Delta\boldsymbol{R}\) \[ \boldsymbol{R}_0\cdot\Delta\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}_1\quad\Longrightarrow\quad\Delta\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}_0^{-1}\cdot\boldsymbol{R}_1 \]
旋转增量矩阵 \(\Delta\boldsymbol{R}\) 作为UMAT输入量，是直接给出的
验证
在Abaqus/Standard中，采用几何非线性（有限变形）分析，选择输出对数应变。
在UMAT中输出：旋转增量矩阵DROT、变形梯度DFGRD0和DFGRD1、应变STRAN、应变增量DSTRAN、时间增量DTIME。Fortran程序：
在ABAQUS中，应变及应变增量为工程应变
1 | PRINT*,'DROT=...' |
输出数据保存在.log文件中，并从中提出一组数据进行验证。MATLAB程序：
1 | % 从'.log'文件中提取数据 |
应变
由 \(\boldsymbol{F}_0\) 计算得到 \(\boldsymbol{\varepsilon}^L_0\)，并与STRAIN0对比
1 | funEL(F0)= |
也可以考虑变形梯度的修正关系
1 | funEL(funF(F0))= |
同样地，可以对比\(\boldsymbol{\varepsilon}^L_1\) 与STRAIN1。
旋转增量矩阵
由 \(\boldsymbol{F}_0\) 、\(\boldsymbol{F}_1\) 分别得到 \(\boldsymbol{R}_0\) 、\(\boldsymbol{R}_1\) ，进一步计算出 \(\Delta\boldsymbol{R}\) ，并与DROT对比
1 | funR(F0)\funR(F1)= |
速度梯度
变形率 \(\boldsymbol{D}\) \[ \boldsymbol{D}:=\frac{\Delta\boldsymbol{\varepsilon}}{\Delta t} \] 自旋率张量 \(\boldsymbol{W}\) \[ \boldsymbol{W}:=\frac{2}{\Delta t}(\Delta\boldsymbol{R}-\boldsymbol{I})\cdot(\Delta\boldsymbol{R}+\boldsymbol{I})^{-1} \] 速度梯度 \(\boldsymbol{L}\) \[ \boldsymbol{L}:=\frac{2}{\Delta t}(\boldsymbol{F}_1-\boldsymbol{F}_0)\cdot(\boldsymbol{F}_1+\boldsymbol{F}_0)^{-1} \] 应有 \(\boldsymbol{D}+\boldsymbol{W}=\boldsymbol{L}\)
1 | D=DSTRAIN/DTIME; |