COMSOL Multiphysics是一款强大的多物理场仿真软件。除了内置的众多典型物理场外，其还允许用户基于方程进行建模，例如使用 PDEs (Partial Differential Equations) 、ODEs (Ordinary Differential Equations) 以及 DAEs (Differential Algebraic Equations) 建模。这里主要介绍COMSOL偏微分方程接口。
接口简介
COMSOL的偏微分方程接口下常用的有两种方程形式：
- 系数型偏微分方程
- 一般形式偏微分方程
系数型偏微分方程
COMSOL提供的模板 \[ \underbrace{\textcolor{red}{e_a}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}}_{\text{质量}}+\underbrace{\textcolor{red}{d_a}\frac{\partial u}{\partial t}}_{\text{阻尼}}+\nabla\cdot\overbrace{(-\underbrace{\textcolor{red}{c}\nabla u}_{\text{扩散}}-\underbrace{\textcolor{red}{\alpha} u}_{\text{对流}}+\underbrace{\textcolor{red}{\gamma}}_{\text{源}})}^{\text{守恒通量}}+\underbrace{\textcolor{red}{\beta}\cdot\nabla u}_{\text{对流}}+\underbrace{\textcolor{red}{a}u}_{\text{吸收}}=\underbrace{\textcolor{red}{f}}_{\text{源}} \] 式中，\(u\) 为所研究的场变量，红色变量是由用户确定的数值或表达式。
一般形式偏微分方程
COMSOL提供的模板 \[ \textcolor{red}{e_a}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+\textcolor{red}{d_a}\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\textcolor{red}{\Gamma}=\textcolor{red}{f} \] 同样地，\(u\) 为场变量，红色变量由用户确定。需要注意，变量 \(\Gamma\) 可以为包含场变量以及其偏导数的复杂表达式。
算例测试
采用《相场损伤模型》中的物理模型，即 \[ \begin{cases} d-l^2\Delta d=0&~\mathrm{in}~V\\[5pt] \nabla d\cdot\boldsymbol{n}=0&~\mathrm{on}~\partial V\\[5pt] d(\boldsymbol{x})=1&~\mathrm{on}~\Gamma \end{cases} \] 对于特征长度参数 \(l=0.25\) 、边长为 2 的正方形（二维）求解域进行计算。
采用系数型方程
令扩散系数 \(c=l^2\) 、吸收系数 \(a=1\) 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征与《相场损伤模型》中保持一致。
计算结果如下
采用一般形式方程
令守恒通量 \(\Gamma=[\partial d/\partial x,\partial d/\partial y]\) 、源项 \(f=d/l^2\) 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征采用箕舌线的形式，在本文中其具体方程为 \[ \begin{cases} x=\tan\theta\\[5pt] y=\cos^2\theta-0.7 \end{cases} \] 式中，\(\theta\in[-\pi/4,\pi/4]\) 。
计算结果如下
注意事项
对裂纹处网格进行手动划分时，可设置全局变量来控制裂纹边上的最大单元大小，并将最大单元增长率设为较小值，由此获得较高的网格质量
本文设裂纹边的最大单元大小 \(l_e=0.07\) 、最大单元增长率为1.1，除裂纹边外区域的最大单元大小为 \(3l_e\)
- 在COMSOL中
零通量选项对应Neumann边界条件，Dirichlet边界条件需手动添加