对称二阶张量与非对称二阶张量的不变量。
非对称二阶张量
矩阵 \(\boldsymbol{A}_{3\times3}\) 的元素记为 \(a_{ij}\) ，三个特征值记为 \(\lambda_1\) 、\(\lambda_2\) 、\(\lambda_3\) 。
矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的三个不变量记为 \(I_1\) 、\(I_2\) 、\(I_3\) ：
第一不变量 \(I_1\) \[ I_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\mathrm{tr}\boldsymbol{A}=a_{ii} \]
第二不变量 \(I_2\) \[ I_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1=\frac{1}{2}(\mathrm{tr}^2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}:\boldsymbol{A}^\mathrm{T})=\frac{1}{2}(a_{ii}a_{jj}-a_{ij}a_{ji}) \]
第三不变量 \(I_3\) \[ I_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det\boldsymbol{A}= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = \epsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3} \]
无论 \(a_{ij}=a_{ji}\) 或 \(a_{ij}\neq a_{ji}\) ， \(I_1\) 、\(I_2\) 、\(I_3\) 三个表达式均成立
对称二阶张量
对称矩阵 \(\boldsymbol{\sigma}_{3\times3}\) 的元素记为 \(\sigma_{ij}\) （满足 \(\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\) ），其偏量记为 \(\boldsymbol{s}=\boldsymbol{\sigma}-\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})\boldsymbol{I}/3\) ，偏量的三个特征值记为 \(s_1\) 、\(s_2\) 、\(s_3\) 。
偏量 \(\boldsymbol{s}\) 的三个不变量记为 \(J_1\) 、\(J_2\) 、\(J_3\) ：
第一不变量 \(J_1\)
\[ J_1=s_1+s_2+s_3=\mathrm{tr}\boldsymbol{s}=s_{ii}=0 \]
第二不变量 \(J_2\)
\[ \begin{aligned} J_2=s_1s_2+s_2s_3+s_3s_1=&-\frac{1}{2}\boldsymbol{s}:\boldsymbol{s} =-\frac{1}{2}s_{ij}s_{ij}\\[5pt] =&-\frac{1}{2}\bigg(\boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\sigma}-\frac{1}{3}\mathrm{tr}^2\boldsymbol{\sigma}\bigg)=-\frac{1}{2}\bigg(\sigma_{ij}\sigma_{ij}-\frac{1}{3}\sigma_{ii}\sigma_{jj}\bigg) \end{aligned} \]
特别地，有 \[ \sigma_\mathrm{eq}=\sqrt{\frac{3}{2}\boldsymbol{s}:\boldsymbol{s}} \]
应力乘 \(3/2\)，应变乘 \(2/3\)
第三不变量 \(J_3\) \[ J_3=s_1s_2s_3=\det\boldsymbol{s} \]