止于至善

变换矩阵\(~\boldsymbol{Q}\)

将全局坐标系\(~O-\boldsymbol{e}_1\boldsymbol{e}_2\boldsymbol{e}_3~\)与局部坐标系\(~o-\boldsymbol{n}_1\boldsymbol{n}_2\boldsymbol{n}_3\)的单位正交基矢量均记为列阵形式，即 \[ \tag{1a} \boldsymbol{e} = [\boldsymbol{e}_1~,~\boldsymbol{e}_2~,~\boldsymbol{e}_3]^\mathrm{T} \] \[ \tag{1b} \boldsymbol{n} = [\boldsymbol{n}_1~,~\boldsymbol{n}_2~,~\boldsymbol{n}_3]^\mathrm{T} \]

于是，可以通过两个坐标系的正交基矢量来定义变换矩阵\(~\boldsymbol{Q}\)，即 \[ \tag{2a} \boldsymbol{e} = \boldsymbol{Q} \cdot \boldsymbol{n} \] \[ \tag{2b} \boldsymbol{e}_i = Q_{ij} \boldsymbol{n}_{j} \]

根据变换矩阵\(~\boldsymbol{Q}\)，可以定义固体力学中常用的一阶、二阶以及四阶张量的变换格式。

Marden定理是我在B站了解到的。

UP主halfkiller译制了“数学玄学家Mathologer”的系列视频，值得一看\(~\checkmark\)

Marden定理

设复数域上的三次多项式\(~p(z)=az^3+bz^2+cz+d\)，记\(~p(z)~\)的三个零点分别为\(~z_1\)、\(z_2\)、\(z_3\)，且三者在复平面上不共线。那么，复平面上存在唯一的椭圆相切于由三个零点所确定的三角形，且切点均位于三角形各边的中点，椭圆的焦点为\(~p'(z)~\)的两个零点，椭圆的中心为\(~p''(z)~\)的零点。

问题

记\(~\boldsymbol{F}~\)为\(~N~\)阶方阵，其第\(~i~\)行、第\(~j~\)列的分量记为\(~F_{ij}\)，其行列式记为\(~|\boldsymbol{F}|~\)，将分量\(~F_{ij}~\)对应的代数余子式记为\(~\mathcal{F}_{ij}\)，将\(~\boldsymbol{F}~\)的伴随矩阵记为\(~\boldsymbol{F}^*\)。

在线性代数教材中，一般用\(~\boldsymbol{A}~\)表示方阵，\(a_{ij}~\)表示分量，\(A_{ij}~\)表示\(~a_{ij}~\)对应的代数余子式

本文采用张量的表示形式，故与线性代数教材中符号不一致

那么，\(\mathrm{d}|\boldsymbol{F}| \big/ \mathrm{d}t=~?\)

MATLAB可通过定义Interpreter类型，来选择文本字符解释器：

1. none - 显示字面字符（默认）
2. tex - 使用\(\TeX\)标记子集解释字符
3. latex - 使用\(\LaTeX\)标记解释字符

如下图所示，在使用\(\LaTeX\)写作时，发现对于公式中同一个对象，只有上标\(~t^{(j)}\)（或只有下标\(~t_i\)）时与上下标同时存在\(~t^{(j)}_i~\)时，两种情况下上标（下标）的垂直高度位置并不一致，即Equ1。

实际上，这体现了\(\LaTeX\)排版的内容与样式分离的特点，即可以根据内容动态调整。

但是，几个公式出现在一起，上下标位置不一致，看上去就很难受Orz

写作高质量的学术文章时，个人认为首先要好看。

有人说，内容重于形式。好吧，我承认你是对的。

前言

商业有限元软件允许用户定义本构关系，例如ABAQUS可以通过UserMATerial（UMAT）子程序引入复杂的本构关系。复杂本构中的参数往往无法与实验结果建立一一对应的关系，解决参数标定的基本思想是用有限元计算结果去不断逼近实验结果，这会引出两个子问题：